第一百三十九章 二试 (1/2)

云泽省的数学竞赛队伍在老孟的带领下开始返航。

路上遇到了一群来自其他省的选手们。

“呜呜呜，郭老师，我不配去清北……”

“老郭你说得对，我只配上江城这种二流的垃圾学校，我回去就改志愿。”

……

这似曾相识的对话。

怎么说好呢？

只能说，博苏克-乌拉姆定理表明，任何一个、嗯，任何一个从n维球面到欧几里得n维空间的连续函数，都一定把某一对对蹠点映射到同一个点……

这个映射定理应用到人生也是一样的啊！

伊诚在内心发出一声感叹。

换句话说，幸福的人生各有各的幸福。

不幸的人生总是相似。

……

回到酒店之后，孟老师根据选手们的回忆，记录题目，并且为大家进行复盘。

……

第二天，二试开始。

从8点半到12点半。

时间依旧是4个半小时。

每题依然是21分。

考场内纸笔沙沙作响。

就像是下雨一样。

只不过这种润物细无声式的安静，比真实的战场更加可怕。

在伊诚这个考场内，40个顶尖的大脑进入了心流模式。

第一题送分题：

证明：当素数a大于等于7时，a^4-1能被240整除。

题目非常简单。

是个参加奥数比赛的学生都会。

一般情况下都会照顾选手们的自尊，所以题目不会出得太难。

这题确实是送分题。

整除相关的数论理论就那么多。

伊诚只瞟了一眼就知道这题该用费马小定理。

其他人不可能不知道。

伊诚不指望靠它拉分，只希望后面两道题能难一些。

最起码不要低于昨天切蛋糕的水准。

费马这个人举世闻名，因为他在读丢番图这本书的时候，在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

这就是非常有名的费马大定理，从1637年开始，一直到1986年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯完成了最后的证明。

也因为费马皮了那么一下，之后出版的数学书后面都会留出一页空白，防止别人有借口说写不下。

费马是一个改变了数学史和数学教材制作的人。

但是，很多人其实不怎么熟悉费马小定理。

或者说不是从事数学专业的人很少听说过费马小定理。

这个东西是跟欧拉定理、中国的孙子定理和威尔逊定理一起并成为数论四大定理的可怕存在。

所以，费马小定理讲述了一个什么事情呢？

它说：

如果^（dp）

……

那么这题的证明就非常简单了。

伊诚不假思索，提笔写到——

证：

素数a大于等于7，a是奇数。

又a^4-1=（^2+1）

且……

通过费马小定理有：

（3，a）=1

（5，a）=1

所以……

最后得证：

240^4-1)

……

花了10分钟的时间，伊诚证明完第一题，开始攻略第二题。

这题有两问：

【假设你生活在13世纪的罗马，你手上有10个整数克重的砝码和一个天平。

现在国王要你让测量出他身上的一件东西。

这件物品的重量在1到88克之间。

1、你是否能做到？甚至少了任何一个砝码也能做到这一点？

2、加入砝码数量增加到12个，其中可以有相同重量的砝码，用天平量出国王给你的一件物品。

这件物品在1-59克之间。

你是否能做到，甚至少了任何两个砝码也能做到这一点？】

伊诚看完了题目，心中至少有4种不同的证明方式。

但是这题有点奇怪的地方在于——

它规定了时代背景。

你生活在13世纪，并且是欧洲。

这个时期的欧洲数学还比较落后，它刚从衰落阶段开始复苏。

所以伊诚能用来证明题目的方法，也只能是这个时期以前的。

他先尝试对题目进行拆解——

取n个砝码，记第i个砝码的重量为fi

对于重量为w的物体，可以用n个砝码测出它的重量。

当n=1时，f3=f2+f1=2

于是，f3-1=1，w=1时，显然可以测出。

然后再讨论n和n+1时的情况……

通过归纳假设……

可以得到第1问的证明。

在这里，通过多次枚举之后，伊诚发现了一些规律——

真是美丽的数字关系。

如此美丽的数字关系，只有一种东西可以解释：

斐波那契数列。

斐波那契是13世纪初的数学家，运用它的理论不会违背这个时代背景的原则。

所以，当发现规律为斐波那契数列之后，对于第2问就简单得多了。

伊诚提笔写到——

构造广义斐波那契数列：

g((n-3)(n大于等于4）。

g(1)=g(2)=g(3)=1.

用归纳假设，可以说明对于这样的n个砝码，即使任意去掉其中的两个，仍然能称出重量1到g（n+1）-1的物体。

而g（13）=60.

所以第二问得证。

可以找到满足题意的12个砝码称量1-59范围内的物体